फिबोनाचिः फिबोनाचिश्रेणिश्च
फिबोनाचिः कः? फिबोनाचिः भरतवर्षे बहुशतवर्षेभ्यः प्रचलितं दशमांशपद्धतिबद्धगणनक्रमं क्रिस्तीयत्रयोदशशतवर्षस्य पूर्वभागे यूरोपीय देशेषु प्रथमतः प्रसारितवान् । गणितज्ञाः यं फिबोनाचिमिति समुदाहरन्ति तस्य वास्तविकं नाम लियोनार्डो द पीसा आसीत् । सः इटलीदेशस्य पीसानगरे निवसतः बोनाचि नाम्नः वणिक्श्रेष्ठस्य आत्मजः । सः पित्रा सह वणिज्यार्थं आफ्रिकामहाद्वीपस्य उत्तरभागस्थदेशेषु प्रभूतं पर्याट । तदा तस्य भरतवर्षीयसंख्यापद्धतिः अवगता अभवत् । इटलीं पुनरागत्य “ लिबर् अबचि” इति नामकं गणितग्रंथं व्यरचयत् । तस्मिन् ग्रंथे दशमांशपद्धतिं न्यरूपयत् । गच्छता कालेन सः ग्रंथः यूरोप-महाद्वीपे प्रथितः अभवत्, तस्मिन्निरूपिता दशमांशपद्धतिश्च प्रचलिता अभवत् ।
तस्मिन् ग्रंथे एव समस्यामेकां च विममर्श । सा यथा:
शशवधूः शशश्च स्तः । जननात् द्विमासानन्तरं तौ तृतीयमासस्य प्रारम्भे नूतनशशस्य नूतनशशवध्वाश्च पितरौ भवतः । तदनन्तरं प्रति मासे नूतनशशयुग्मं (शशश्च शशवधूश्च) जनयतः । अनेन प्रकारेणैव जनितशशयुग्माश्च नूतनशशयुग्मान् जनयन्ति । इत्थं निरन्तं शशयुग्माः प्रभवन्ति चेत् कस्यचन “ख”मासस्य प्रारम्भे साकल्येन कति शशयुग्माः स्युः?
समस्यायाः अवगमनार्थमियं कक्ष्यासरणिः रचिता ।
माससंख्या | प्रथमः | द्वितीयः | तृतीयः | चतुर्थः | पञ्चमः | षष्ठः |
प्रथमशशयुग्मस्य आत्मजयुग्मः | +१ | +१ | +१ | +१ | ||
द्वितीयशशयुग्मस्य आत्मजयुग्मः | +१ | +१ | ||||
तृतीयशशयुग्मस्य आत्मजयुग्मः | +१ | |||||
मासस्य प्रारम्भे साकल्येन शशयुग्मसंख्या | १ | १ | २ | ३ | ५ | ८ |
इयं कक्ष्यासरणिः निरन्तं भवति ।
अस्याः कक्ष्यासरण्याः सूक्ष्मावलोकनेन इदं स्पष्टं भवति ।
यदि फि(ख) “ख”मासस्य प्रारम्भे शशसंख्या स्यात् तदा
फि(ख)=फि(ख-१)+फि(ख-२) ।
इत्थं जनिता संख्याश्रेणिः फिबोनाचिसंख्याश्रेणिरित्याख्याता ।
आधुनिकगणितज्ञाः इयं श्रेणिः फिबोनाचिश्रेणिरिति आख्यातापि अस्याः जनकः फिबोनाचिः न भवतीति आमनन्ति । अस्याः श्रेण्याः ज्ञानं भरतवर्षे पूर्वतः आसीत् । गोपालनामा छन्दःशास्त्रज्ञः क्रिस्तीय दशमशतवर्षात् प्रागेव आत्मनः छन्दःशास्त्रग्रन्थे इमां श्रेणिं प्रयुक्तवान् ।
छन्दःशास्त्रे इयं समस्या प्रादुर्भवति । द्विमात्रायुतमात्रागणे कति भेदाः भवन्ति? त्रिमात्रायुतमात्रागणे कति भेदाः भवन्ति? चतुर्मात्रायुतमात्रागणे कति भेदाः भवन्ति?
उदाहरणार्थं त्रिमात्रायुतमात्रागणे कति भेदाः सन्ति? पश्याम ।
ल-गु, गु-ल, ल-ल-ल इति त्रयो भेदाः ।
तथैव चतुर्मात्रायुतमात्रागणे ल-गु-ल, गु-ल-ल, ल-ल-गु, गु-गु, ल-ल-ल-ल इति साकल्येन पञ्च भेदाः ।
अत्र “ल”संज्ञा लघुमात्रां “गु”संज्ञा गुरुमात्रां सूचयतः ।
इदानीमुपरिनिर्दिष्टां कक्ष्यासरणिं पश्यतु ।
फि(४)=३ तथा फि(५)=५ !
- - - -
